因式分解的十二种方法(已整理)

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因式分解的十二种方法 : 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解。

因式分解的方法多种多样,现 总结如下: 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形 式。

例 1、 分解因式 x -2x -x(2003 淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式。

例 2、分解因式 a +4ab+4b (2003 南通市中考题) 解:a +4ab+4b =(a+2b) 3、 分组分解法 要把多项式 am+an+bm+bn 分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式 a,把它后两项分成一组, 并提出公因式 b,从而得到 a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式 m+n,从而得到(a+b)(m+n) 例 3、分解因式 m +5n-mn-5m 解:m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 对于 mx +px+q 形式的多项式,如果 a×b=m,c×d=q 且 ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例 4、分解因式 7x -19x-6 分析: 1 -3 72 2-21=-19 解:7x -19x-6=(7x+2)(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将 其因式分解。

例 5、分解因式 x +3x-40 解 x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解。

例 6、分解因式 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法 有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来。

例 7、分解因式 2x -x -6x -x+2 解:2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x [2(x + )-(x+ )-6

令 y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6 = x [2(y -2)-y-6] = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、 求根法 令多项式 f(x)=0,求出其根为 x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为 f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例 8、分解因式 2x +7x -2x -13x+6 解:令 f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通过综合除法可知,f(x)=0 根为 ,-3,-2,1 则 2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 图象法 令 y=f(x),做出函数 y=f(x)的图象,找到函数图象与 X 轴的交点 x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为 f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例 9、因式分解 x +2x -5x-6 解:令 y= x +2x -5x-6 作出其图象,见右图,与 x 轴交点为-3,-1,2 则 x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解。

例 10、分解因式 a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析:此题可选定 a 为主元,将其按次数从高到低排列 解:a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 将 2 或 10 代入 x,求出数 P,将数 P 分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成 2 或 10 的和与差的形式,将 2 或 10 还原成 x,即得因式分解式。

例 11、分解因式 x +9x +23x+15 解:令 x=2,则 x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将 105 分解成 3 个质因数的积,即 105=3×5×7 注意到多项式中最高项的系数为 1,而 3、5、7 分别为 x+1,x+3,x+5,在 x=2 时的值 则 x +9x +23x+15=(x+1)(x+3)(x+5) 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。

例 12、分解因式 x -x -5x -6x-4 分析:易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。

解:设 x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 所以 解得 则 x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)

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